Kvanttikaikkeuden kummallisuuksia

Alustuksena tähän tekstiin täytyy huomauttaa, että blogini on horrostanut jo useammat kesät ja talvet johtuen muun muassa opiskelu- ja työkiireistä. Nyt kun sain viimein tohtoritutkintoni valmiiksi (juuri nyt viime tammikuussa...), niin päätin viimein potkia hereille tämän unikeon, ennen kuin sammal peittää sen alleen, ja luonto ottaa tyystin vallan. Itse asiassa aloitin jo pariinkin kertaan viime kuukausien aikana tämän luonnon kvanttimekaanista käyttäytymistä käsittelevän tekstin kirjoittamisen, mutta aina tulin siihen tulokseen, ettei lähestymissuuntani aiheeseen ollut järin tyydyttävä. Saa nähdä miten käy tällä kolmannella kertaa... Olen valmis kohtaamaan totuuden.

Palataanpa näin aluksi aiemman kirjoitukseni aihepiiriin, jossa käsittelin tiedon olemusta. Siellä tuumailin, että "tietoni on induktiota muistamieni kokemuksien säännönmukaisuuksien suhteen. Kun olen päästänyt irti pallosta 1000 kertaa peräkkäin, ja havainnut pallon joka kerta tippuvan maata kohti enkä kertaakaan maasta poispäin, päättelen induktiivisesti pallon tippuvan aina maata kohti --- no, ainakin tänään tässä paikassa." Kokeellisen fysiikan tehtävä on kehittää huippuunsa tämän tyyppinen fysikaalisten systeemien, kuten tippuvien pallojen, havaitseminen tarkasti kontrolloitujen koejärjestelyjen avulla. (Ääriesimerkkinä tippuvien esineiden nykytutkimisesta voisi vaikka mainita NASA:n Zero Gravity-painottomuuslaboratorion 132-metrisine tyhjiöpudotusputkineen.) Vastaavasti teoreettinen fyysiikka pyrkii kokoamaan systeemien havaitut säännönmukaisuudet fysiikan teorioihin, jotka yleensä koostuvat joukosta yhteensopivia matemaattisia yhtälöitä ja niiden kuvaamien suureiden fysikaalisesta tulkinnasta. Kun Einstein sanoo "E = mc²", niin hän tarkoittaa, että "kaiken tähän astisen kokeellisen tiedon ja sen pohjalta rakennettujen teorioiden perusteella vaikuttaa hyvin vahvasti siltä, että kun joku mittaa fysikaalisen systeemin energian, niin tuloksen pitäisi kaiken järjen mukaan olla sama kuin jos hän mittaa systeemin massan, ja kertoo sen kahdesti valonnopeudella." Syvällisemmin ja yleisemmältä kantilta Einstein oikeasti sanoi: "Fysiikan konseptit ovat ihmismielen vapaita luomuksia eivätkä, vaikka muulta vaikuttaisikin, ulkoisen todellisuuden yksikäsitteisesti määräämiä." [1]

Mikä tahansa fysiikan teoria siis kokoaa yhteen yhtenäiseen pakettiin suuren määrän yksittäisissä koetilanteissa havaittuja ja kerta toisensa jälkeen varmennettuja luonnon säännönmukaisuuksia. Teorian matemaattinen muotoilu mahdollistaa usein myös uusien, vielä havaitsemattomien ilmiöiden ennustamisen, joiden vahvistaminen on omiaan tukemaan uskoamme teorian paikkansa pitävyyteen sen pätevyysalueella. On hyvin tärkeä ymmärtää, että teorian mahdollisesta menestyksestä huolimatta, fysiikan teoria on aina malli todellisuudesta --- ei itse todellisuus. Samoin kuin television kuva näyttää kaukaa katsottuna realistiselta, mutta lähempää katsottuna muuttuu todellisuuden vastaisesti rakeiseksi pikselisalaatiksi, mikään nykyinen fysiikan teoria ei kuvaa kaikkia mahdollisia fysikaalisia ilmiöitä. Televisioiden resoluutiota voimme toki parantaa, kunnes näemme uutistenlukijan virttyneen naaman solurakenteen, emmekä voi käytännössä mitenkään havaita eroa sen kuvan ja todellisuuden välillä (...unohtaen hetkeksi televisiokuvan kaksiulotteisuuden). Sama pätee luultavasti myös fysiikan teorioihin.

Kvanttifysiikan teoriat kuvaavat tarkimmalla tuntemallamme tavalla mikroskooppisia systeemejä, kuten atomeita ja alkeishiukkasia. Alunperin 1900-luvun alkupuolelta noin 1930-luvun puoleen väliin asti teoreettiset fyysikot kehittivät niin kutsutun kvanttimekaniikan teorian, joka kuvaa suhteellisen yksinkertaisia mikroskooppisia systeemejä, kuten äärellisiä määriä alkeishiukkasia. Kvanttimekaniikan avulla pystyttiin jo selittämään esimerkiksi monia atomien ominaisuuksia, jotka olivat täysin selittämättömissä klassisen (Newtonin) mekaniikan avulla, mikä vahvisti fyysikoiden uskoa siihen, että he olivat oikeilla jäljillä. Niinpä edelleen 1930-luvulta 1970-luvulle asti kehitettiin niin kutsuttu kvanttikenttäteoria, joka mahdollistaa kvanttiteorian yhteensopivuuden Einsteinin (suppean) suhteellisuusteorian kanssa ja äärettömien hiukkaskonfiguraatioiden kuvaamisen. Itse asiassa kvanttikenttäteoriassa pääosassa eivät ole hiukkaset, vaan kentät (kuten sähkömagneettinen voimakenttä), kuten nimi antaa ymmärtää, joiden värähtelyitä hiukkaset (kuten fotonit) pohjimmiltaan ovat. Erityisesti hiukkasfysiikan standardimalli, jonka ennustukset alkeishiukkasten käyttäytymisestä on varmennettu äärimmäisellä tarkkuudella, pohjautuu kvanttikenttäteoriaan. Esimerkiksi kaikki Euroopan hiukkasfysiikan tutkimuskeskuksessa CERNissä tapahtuvien kokeiden tapahtumat, kuten ajankohtainen Higgsin hiukkasen ilmaantuminen, voidaan mallintaa vain ja ainoastaan kvanttikenttäteorian avulla.

Toinen nobelisti ja henkilökohtainen idolini Richard Feynman sanoi kerran: "Luulen, että voin turvallisesti sanoa, ettei kukaan ymmärrä kvanttiteoriaa." [2] Todisteeksi omasta fanipoikuudestani liitän tähän kuvan minusta ja Feynmanista viime helmikuun Kalifornian reissulta:

Kvanttifysiikan hämmentävä luonne juontaa juurensa pääasiallisesti siitä, että kvanttiteoria kykenee vain ja ainoastaan ennustamaan eri koetulosten todennäköisyyksiä. Esimerkiksi elektronin sijaintia atomissa mitattaessa, paikanmittauksen tulokselle voidaan ennustaa vain eri todennäköisyyksiä, mutta ei elektronin "todellista" sijaintia. (Huomaa lainausmerkit sanan "todellinen" ympärillä, jotka saavat pian selityksen...) Tässä ei sinänsä toki olisi mitään hämmentävää, jos kvanttiteoria ei pyrkisi olemaan perustavanlaatuinen kuvaus fysikaalisten systeemien käyttäytymisestä. Siinä, että kolikonheiton todennäköisyys päätyä klaavaan on noin 50% ei ole mitään mystistä, koska saman heiton voi yhtä hyvin kuvata Newtonin klassisella mekaniikalla, jonka avulla kolikon tarkan lentoradan ja lopputuleman voisi periaatteessa ennustaa sen alkunopeuden ja -sijainnin perusteella. Voimmehan myös paljain silmin nähdä kolikon lentävän ilmassa liikeyhtälöidensä mukaisesti, joten Newtonin yhtälöt selvästi kuvaavat havaitsemaamme Oikeaa Todellisuutta™. Sen sijaan kvanttifysiikan mukaan tiettyjä suureita, kuten esineen nopeutta ja sijaintia, ei voi koskaan mitata eikä tietää samanaikaisesti äärettömän tarkasti. Näihin mittauksiin pätee niin kutsuttu Heisenbergin epätarkkuusperiaate, joka on saksalaisen kvanttifysiikan pioneerin Werner Heisenbergin mukaan nimetty perustavanlaatuinen tarkkuusrajoitus tiettyjen fysikaalisten suureiden yhtäaikaiselle mittaukselle ja tietämiselle. Tämän takia myöskään prosessien, kuten kolikonheiton, lopputulemaa ei voi ennustaa kvanttiteorian mukaan täydellisellä varmuudella. Kolikon tapauksessa kvanttiepävarmuus lopputulemassa on kuitenkin äärimmäisen pieni, koska kolikko on äärimmäisen massiivinen objekti kvanttifysiikan mittapuulla, joten tilanne palautuu äärimmäisellä tarkkuudella klassisen mekaniikan täydelliseen ennustettavuuteen. Mutta yksittäisen elektronin tapauksessa epävarmuus sen nopeudessa ja sijainnissa on hyvin merkittävä. Tällä kvanttiteoreettisella epävarmuudella on radikaaleja fysikaalisia seurauksia: Jos elektroni ei noudattaisi epätarkkuusperiaatetta, vaan voisimme mallintaa sitä pistemäisenä hiukkasena, niin kiertäessään atomin ytimen ympäri se säteilisi pois klassisen fysiikan mukaisesti kaiken liike-energiansa nanosekunnin murto-osassa sukeltaen suoraa päätä ytimeen, eikä vakaita atomeita siten voisi teorian mukaan olla olemassa. Sen sijaan epävarmuus elektronin sijainnissa estää elektronin tarkan paikallistamisen atomin ytimeen, ja tekee atomimallista vakaan. Aineen olemassaolo todistaa siten vahvasti kvanttiepävarmuuden puolesta! [3]

Hämmentävän kvanttifysiikan todennäköisyyksiin perustuvasta muotoilusta tekee siis erityisesti se, että samanaikaisesti se tarjoaa nyky-ymmärryksen valossa täydellisimmän mahdollisen kuvauksen fysikaalisten systeemien käyttäytymisestä. Miksi ei voisi olla mahdollista, että on olemassa tarkempi teoria, joka ennustaisi 100-prosenttisella varmuudella kokeiden tulokset siinä, missä kvanttiteoria tarjoaa vain todennäköisyyksiä? Ehkä kvanttiteorian epävarmuus johtuu vain siitä, että olemme tumpeloita, emmekä kykene teknologisista syistä mittaamaan kaikkia koetuloksen kannalta merkityksellisiä suureita?

Tumpeloisuutemme tuntien jälkimmäinen vaihtoehto ei kuulosta lainkaan mahdottomalta. Ei ole toki täysin poissuljettua, että joku päivä kehitetään teoria, joka kuvaa fysikaalisten systeemien käyttäytymistä tarkemmin kuin kvanttiteoria. Tämän uuden teorian täytyisi kuitenkin olla yhteensopiva kvanttiteorian kanssa kaikilta osin, joilta kvanttiteoria on jo nykyään todettu kokeiden kautta päteväksi. Lypsääksemme televisioanalogian tyhjäksi: uuden paremmalla resoluutiolla varustetun television esittämän kuvan täytyy näyttää samalta kaukaa katsottuna kuin vanhan mallin, jos lähetys on sama. Fysiikan teorioiden tapauksessa lähetys on itse todellisuus. Fysiikan kannalta olennainen oletus onkin, että on olemassa yksi fysikaalinen todellisuus, mikä se sitten ikinä onkaan, jota me kaikki koemme. Tämä yhtenäisyyden vaatimus asettaa niin tiukat reunaehdot mahdollisille uusille teorioille, että epävarmuuksien retusoiminen varmuuksiksi näyttää hyvin epätodenäköiseltä, ja vaatisi uuden teorian olevan huomattavasti kvanttifysiikkaakin epäintuitiivisempi. Kvanttiteoria ikään kuin asettaa absoluuttiset rajat, ei television, vaan itse lähetyksen resoluutiolle. [4] Miksi? Sitä ei kukaan tiedä.

Kvanttiteorian säännöt tapahtumien todennäköisyyksien laskemiselle myös poikkeavat aika radikaalisti perinteisestä todennäköisyyslaskennasta, ja johtavat siten hetkittäin hyvin epäintuitiivisiin ilmiöihin. Eräs tärkeä ero perinteiseen todennäköisyyslaskentaan on se, että toisensa poissulkevilta vaikuttavien tapahtumien todennäköisyydet eivät aina summadu suoraan yhteen. Esimerkiksi voi käydä niin, että vaikka jotkin vaihtoehtoiset tapahtumat voisivatkin tapahtua yksistään, niin niiden kombinaatio voi osoittautua mahdottomaksi. Kanooninen kokeellinen havainnollistus tästä ilmiöstä on niin kutsuttu kaksoisrakokoe, jossa eletroneja ammutaan kohti levyä, jossa on kaksi rakoa. Elektronit voivat mennä läpi raoista, ja iskeytyä levyn takana olevaan valokuvalevyyn, johon ne jättävät pistemäisiä iskeytymisjälkiä. Tätä on havainnollistettu alla olevassa kuvassa [5]:

Kun jompi kumpi raoista on sujettu, niin läpi menneiden elektronien muodostavat valokuvalevylle yksinkertaisen kuvion (piirokset (b) ja (c)), josta näkyy että suurin osa raon läpäisseistä elektroneista lensi melko suoraan, vaikka osa vaihtoi hieman suuntaansa osuessaan rakoon. Toisaalta, kun molemmat raot ovat auki, niin valokuvalevylle muodostuu monimutkainen aaltokuvio (piirros (d)), josta voi nähdä, että elektronit ovat jakautuneet hyvin epätasaisesti. Siten yksittäisten rakojen yksinkertaiset jakaumat eivät vain suoraan summaudu, vaan eri rakoihin liittyvät todennäköisyydet voivat niin sanotusti interferoida, eli kumota tai vahvistaa toisiaan riippuen paikasta. Sama pätee, jos rakoja kohti ammutaan vain yksi elektroni kerrallaan, joten yksittäisen elektronin todennäköisyys interferoi nimenomaan itsensä kanssa. Tämän vuoksi jokainen yksittäinen elektroni selvästi tietää molemmista raoista, ja itse asiassa johtaisi loogiseen ristiriitaan sanoa, että ne menevät läpi vain jommasta kummasta. Kvanttitodennäköisyydet muistuttavat tässä suhteessa enemmän meren aaltoja kuin kolikonheiton epävarmuuksia.

Toinen kvanttiteorian hämmentäväksi mielletty ominaisuus on niin kutsuttu kvanttilomittuminen. Tämä tarkoittaa jotakuinkin sitä, että kahden fysikaalisen systeemin mittaustulosten todennäköisyydet ovat nivoutuneet toisiinsa niin, että ensimmäisen systeemin mittaaminen vaikuttaa välittömästi toiseen systeemiiin kohdistuviin todennäköisyyksiin riippumatta siitä, kuinka kaukana toisistaan systeemit ovat. Itse asiassa tässä ilmiössä ei olisi mitään hämmentävää sinänsä: Kuvittele, että käsiesi sisällä on kaksi kolikkoa, ja tiedät että toinen niistä on kruunu ja toinen klaava tietämättä kumpi on kummassa. Voit vain sanoa, että molempien todennäköisyys olla jompi kumpi on 50%. Kuitenkin avatessasi yhden käden tiedät välittömästi mikä toisessa kädessä on. Tämä ei tarkoita sitä, että käsiesi välillä on aika-avaruuden läpäisevä madonreikä tai joku maaginen yhteys, vaan sinä vain päivität odotuksesi uuden tiedon pohjalta. Epäintuitiivinen osuus on se, että kvanttiteoriassa nämä todennäköisyyksien nivoutumiset voivat olla vahvempia kuin normaalisti arkijärjen puitteissa, eivätkä siten ole selitettävissä yhtä yksinkertaisesti. Voisiko kvanttiteoria silti olla vain likimääräinen kuvaus jostain syvemmästä todellisuudesta, jonka kuvaamiseen voimme kehittää uuden tarkemman teorian?

Minkä tahansa kvanttiteorian korvaavan teorian täytyy sisältää yllämainitut epäintuitiiviset kvanttifysiikan ominaisuudet. Mainitsen kaksi tärkeintä teoreettista tulosta, jotka rajoittavat mahdollisten uusien teorioiden ominaisuuksia: Ensinnäkin niin kutsuttu Kochen-Speckerin teoreema osoittaa, että missään kvanttimekaniikan korvaavassa teoriassa ei kaikki kvanttiteorian mukaan mitattavissa olevat suureet (esimerkiksi hiukkasen sijainti ja nopeus) voi olla yhtäaikaa määrättyjä eli tiedettävissä varmuudella. Tämä teoreema tosin jättää auki sen periaatteellisen mahdollisuuden, että voisi olla olemassa jotain muita "piilosuureita" nykyisten lisäksi, jotka määräävät kvanttiteorian mittaustulokset samaan tapaan kuin kaasun molekyylien nopeudet määräävät kaasun lämpötilan. Toisaalta Bellin teoreema osoittaa, että jos tällaisia piilosuureita on olemassa, niin ne eivät voi käyttäytyä kovin intuitiivisesti, koska niiden täytyy pystyä vaikuttamaan toisiinsa välittömästi mielivaltaisen pitkien matkojen päästä. Tämä rikkoo räikeästi Einsteinin suhteellisuusteorian valonnopeuden asettamaa syy-seuraussuhteiden nopeusrajoitusta, joka on toinen perustavanlaatuinen oletus fysiikassa. Ajattelepa yrittää tehdä johdonmukaisia kokeita systeemillä, johon voi vaikuttaa välittömästi mitkä tahansa tähtien ja planeettojen liikkeet toisella puolen galaksia! Bellin teoreema osoittaa myös, että toisaalta jos pidetään kiinni syy-seuraussuhteiden nopeusrajoituksesta, niin siinä tapauksessa joudumme luopumaan joko (i) mitattavien suureiden objektiivisesta todellisuudesta Kochen-Speckerin teoreeman merkityksessä, tai sitten (ii) kokeentekijän vapaasta tahdosta siinä mielessä, että hän ei voi valita koejärjestelyään riippumatta mitattavan systeemin tilasta. Kokeellinen fysiikka käy melko mahdottomaksi myös tässä viimeisessä tilanteessa!

Edes (tai varsinkaan) alan kärkitutkijoiden parissa ei ole vieläkään --- yli sata vuotta kvanttifysiikan perustamisen jälkeen --- minkään tason yksimielisyyttä siitä, miten kvanttiteoriaa täytyisi oikeasti fysikaalisesti ymmärtää. Kysymys "Miksi kvanttiteoria?" on vailla vakuuttavaa vastausta. Tämä siitäkin huolimatta, että nämä teoriat kuvaavat havaitsemiamme kvantti-ilmiöitä alati hämmästyttävämmällä tarkkuudella. (Lue aikaisempi raapustukseni mikroskooppisista mittakaavoista, jos et muuten usko.) Bellin teoreema kuitenkin rajoittaa vahvasti tulkinnallisia mahdollisuuksia. Ymmärtääkseni monet fyysikot --- ellei jopa enemmistö --- uskovat, että suureet ja niiden todennäköisyydet, joita kvanttiteoria käsittelee, kuvaavat fysikaalisten systeemien sisäisiä objektiivisia ominaisuuksia, jolloin heidän täytyy Bellin teoreeman mukaisesti luopua syy-seuraussuhteiden nopeusrajoituksesta. Omasta mielestäni on kuitenkin huomattavasti järkevämpää luopua siitä jokseenkin naiivista uskosta, että kvanttifysiikka kuvaisi fysikaalisten systeemien objektiivisia ominaisuuksia. Palautetaanpa taas mieleen Einsteinin lausahdus: "Fysiikan konseptit ovat ihmismielen vapaita luomuksia eivätkä, vaikka muulta vaikuttaisikin, ulkoisen todellisuuden yksikäsitteisesti määräämiä." [1] Huomattavasti pidemmälle tämän ajatuksen vei tanskalainen kvanttipioneeri Niels Bohr painottaessaan, että "ei ole olemassa mitään kvanttikaikkeutta. On vain olemassa abstrakti kvanttifysikaalinen kuvaus. On väärin ajatella, että fysiikan tehtävä on selvittää, millainen luonto on. Fysiikka käsittelee sitä, mitä me voimme sanoa luonnosta..." [6] Tästä näkökulmasta kvanttiteorian viesti on siis se, että minkä tahansa fysiikan teorian kuvaama tieto tai uskomus fysikaalisen systeemin käyttäytymisestä on aina jonkun henkilön tai muun agentin mielessä, eikä suinkaan systeemin objektiivinen ominaisuus. Emme voi koskaan päästä suoraan käsiksi "objektiiviseen todellisuuteen", mitä se sitten ikinä onkaan, jos mitään, vaan havaitut faktat ja säännönmukaisuudet ovat aina oman mielemme tuotosta. Kokemuksiemme yhteensopivuus toki puhuu vahvasti jonkinlaisen mielemme ulkopuolisen yhteisen todellisuuden puolesta, kuten jo Tietoni olemus-raapustuksessa huomautin, mutta se ei silti kumoa tätä teorianmuodostuksen perustavanlaatuista rajoitusta. Emme voi muuta kuin pysyä tietämättöminä päämme ulkoisesta todellisuudesta.

Syvälle tämän ajatuskulun suuntaan sukeltaa Christopher Fuchsin, Rüdiger Schackin ja David Merminin julkaisut (1 ja 2), jotka käsittelevät varsin ovelasti nimettyä QBismi-tulkintaa kvanttifysiikasta. QBismi tunnetaan myös huomattavasti kuvannollisemmalla nimellä kvantti-Bayesianismi (engl. quantum Bayesianism), josta tuo "QB" on lyhenne. Bayesilainen suuntaus on tilastotieteen tulkinta uskomusten logiikkana. Toisaalta "QBismi"-termi muistuttaa ääntämykseltään kubismi-taidesuuntausta. Näillä kahdella onkin syvä henkinen yhteys maailman abstraktoimisessa... Näin Fuchs kuvaa kehittämäänsä tulkintaa: "QBismin mukaan kvanttiteorian ei pitäisi ajatella olevan kuva maailmasta itsestään, vaan 'käyttöopas', jonka kuka tahansa toimija voi ottaa käyttöönsä tehdäkseen viisaampia päätöksiä maailmassa, joka häntä ympäröi --- maailmassa, jossa hänen tekojensa seuraukset ovat sisäsyntyisesti epävarmoja. Korostan tätä: Minun tapauksessani se on maailma, jossa minä olen pakotettu olemaan epävarma suurimmasta osasta minun tekojen seurauksia; ja sinun tapauksessasi se on maailma, jossa sinä olet pakotettu olemaan epävarma suurimmasta osasta sinun tekojesi seurauksia. Silti me molemmat voimme käyttää kvanttiteoriaa logiikan ja todennäköisyyslaskennan ohella, kun ajattelemme henkilökohtaisia epävarmuuksiamme, jotka koskevat näitä meidän hyvin henkilökohtaisia asioitamme." [7] Tästä näkökulmasta käsin kvanttiteoria näyttäytyy siis metodina, jonka fyysikot ovat kehittäneet logiikan ja todennäköisyyslaskennan tapaan henkilökohtaisten kokemuksiemme ja uskomuksiemme tarkimpaan mahdolliseen ennakoimiseen ja jäsentämiseen, eikä suinkaan maailman objektiivisena todellisuutena. Tämä käy järkeen, sillä onhan kokemuksemme maailmasta, jopa kokeellisessa fysiikassa, aina filtteröity mielemme ja uskomuksiemme läpi. Luulenpa siis, että tämä on kvanttifysiikan todellinen viesti meille: "Herää pahvi, se on televisio!"



Alaviitteet:

[1] "Physical concepts are free creations of the human mind, and are not, however it may seem, uniquely determined by the external world." A. Einstein ja L. Infeld, The Evolution of Physics (1938).

[2] "I think I can safely say that nobody understands quantum mechanics", The Character of Physical Law (1965).

[3] Tietenkin olisi periaatteessa mahdollista, että atomin ytimen ja elektronin välillä vaikuttaisi myös joku entuudestaan tuntematon voima sähkömagneettisen vuorovaikutuksen lisäksi, joka tasapainoittaisi systeemin. Jos atomin vakaus olisi ainoa todiste kvanttiepävarmuudelle, niin silloin toki jälkimmäinen vaihtoehto vaikuttaisi paljon uskottavammalta, ja monet fyysikot yrittivätkin rakentaa vakaata atomimallia näillä konstein ennen kvanttifysiikan universaalia hyväksyntää. Sen sijaan atomien vakaus on vain yksi todiste lukemattomien muiden joukossa, vaikkakin harvinaisen dramaattinen sellainen.

[4] Realistisen television tapauksessa resoluution absoluuttinen yläraja tulee vastaan näkyvän valon aallonpituuksien tienoilla, mikä ei ole huonoin mahdollinen analogia, sillä kvanttiteorian epätarkkuusperiaate voidaan myös joissain tapauksissa ajatella johtuvan hiukkasten aaltomaisesta käyttäytymisestä.

[5] Kuva on otettu kirjasta R. Penrose, The Road to Reality (2004).

[6] "There is no quantum world. There is only an abstract quantum physical description. It is wrong to think that the task of physics is to find out how nature is. Physics concerns what we can say about nature..." A. Pais, The Genius of Science: A Portrait Gallery (2000).

[7] "QBism says that quantum theory should not be thought of as a picture of the world itself, but as a “user’s manual” any agent can pick up and use to make wiser decisions in the world enveloping him—a world in which the consequences of his actions upon it are inherently uncertain. To make the point: In my case, it is a world in which I am forced to be uncertain about the consequences of most of my actions; and in your case, it is a world in which you are forced to be uncertain about the consequences of most of your actions. Yet both of us may use quantum theory as an addition to logic and probability theory when we contemplate our personal uncertainties about these very personal things for each of us." Lainattu julkaisusta C. Fuchs, Interview with a Quantum Bayesian (2012), arxiv:1207.2141.